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Fläche zu Umfang oder warum die Biene Waben baut

Beim Morgenessen stellte sich die Frage, warum die Bienenwaben sechseckig sind. Auf meine Antwort, dass das Sechseck die Form mit dem besten Fläche-zu-Umfang-Verhältnis ist, die ohne Zwischenräume aneinander gereiht werden kann, wurde mit Skepsis reagiert.

Also musste dies mathematisch bewiesen werden:

AQuadrat = s2

UQuadrat = 4s
ASechseck = 3a2 sqrt(3) / 2

USechseck = 6a

Bei gleichem Umfang von Quadrat und Sechseck ergibt sich:

UQuadrat = USechseck = 4s = 6a

a = 4s / 6

a = 2s / 3

ASechseck = 3 (2s / 3)2 sqrt(3) / 2 =
         = 3 * 4 s2 sqrt(3) / (9 * 2) = 2 s2 sqrt(3) / 3

Wenn wir nun die beiden Flächen vergleichen ergibt sich:

ASechseck / AQuadrat = 2 s2 sqrt(3) / (3 * s2) =
                   = 2 sqrt(3) / 3 = ~1.15

Das heisst, bei gleichem Umfang hat das Sechseck etwa 15% mehr Fläche.

Dieser Eintrag wurde am Montag, 12. November 2007 um 04:51 erstellt und ist abgelegt unter Deutsch, Math. Mit dem RSS 2.0 Feed kannst du den Antworten zu diesem Artikel folgen. Du kannst eine Antwort hinterlassen, oder einen Trackback von deiner eigenen Seite senden.

2 Antworten zu “Fläche zu Umfang oder warum die Biene Waben baut”

  1. of bits and bytes » Blog Archive » Fläche zu Umfang Teil 2: der Kreis sagt:
    15. November 2007 um 02:10

    [...] of bits and bytes Der normale Wahnsinn in der Softwarewelt – The ordinary madness in the world of software. « Fläche zu Umfang oder warum die Biene Waben baut [...]

  2. Roland Bär sagt:
    26. Januar 2011 um 20:18

    Für die ganz hartgesottenen: Ein mathematischer Beweis (in englisch) ist hier zu finden:

    http://www.math.pitt.edu/~thales/kepler98/honey/honey.pdf

    Viel Spass!

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