of bits and bytes

Nach dem Blogeintrag Fläche zu Umfang oder warum die Biene Waben baut stellt sich die Frage, welche Form das beste Fläche-zu-Umfang-Verhältnis hat.
Wenn man vom Dreieck über das Viereck, das Fünfeck, das Sechseck usw. das Verhältnis ausrechnet, sieht man, dass das Verhältnis immer besser wird, je mehr Ecken das n-Eck hat. Deshalb hat das beste Verhältnis das n-Eck mit n gegen unendlich, sprich der Kreis.

AQuadrat = s2UQuadrat = 4s

AKreis = r2 πUKreis = 2 r π

Bei gleichem Umfang von Quadrat und Kreis ergibt sich:

UQuadrat = UKreis = 4s = 2 r πr = 2s / π

AKreis = r2 π = (2s / π)2 π = 

      = 4s2 π

Wenn wir nun die beiden Flächen vergleichen ergibt sich:

AKreis / AQuadrat = 4s2 π / ( s2) =

                = 4 / π = ~1.27

Beim Morgenessen stellte sich die Frage, warum die Bienenwaben sechseckig sind. Auf meine Antwort, dass das Sechseck die Form mit dem besten Fläche-zu-Umfang-Verhältnis ist, die ohne Zwischenräume aneinander gereiht werden kann, wurde mit Skepsis reagiert.

Also musste dies mathematisch bewiesen werden:

AQuadrat = s2

UQuadrat = 4s

ASechseck = 3a2 sqrt(3) / 2

USechseck = 6a

Bei gleichem Umfang von Quadrat und Sechseck ergibt sich:

UQuadrat = USechseck = 4s = 6a

a = 4s / 6

a = 2s / 3

ASechseck = 3 (2s / 3)2 sqrt(3) / 2 =

         = 3 * 4 s2 sqrt(3) / (9 * 2) = 2 s2 sqrt(3) / 3

Wenn wir nun die beiden Flächen vergleichen ergibt sich:

ASechseck / AQuadrat = 2 s2 sqrt(3) / (3 * s2) =

                   = 2 sqrt(3) / 3 = ~1.15

Das heisst, bei gleichem Umfang hat das Sechseck etwa 15% mehr Fläche.