Beim Morgenessen stellte sich die Frage, warum die Bienenwaben sechseckig sind. Auf meine Antwort, dass das Sechseck die Form mit dem besten Fläche-zu-Umfang-Verhältnis ist, die ohne Zwischenräume aneinander gereiht werden kann, wurde mit Skepsis reagiert.

Also musste dies mathematisch bewiesen werden:

AQuadrat = s2

UQuadrat = 4s

ASechseck = 3a2 sqrt(3) / 2

USechseck = 6a

Bei gleichem Umfang von Quadrat und Sechseck ergibt sich:

UQuadrat = USechseck = 4s = 6a

a = 4s / 6

a = 2s / 3

ASechseck = 3 (2s / 3)2 sqrt(3) / 2 =

         = 3 * 4 s2 sqrt(3) / (9 * 2) = 2 s2 sqrt(3) / 3

Wenn wir nun die beiden Flächen vergleichen ergibt sich:

ASechseck / AQuadrat = 2 s2 sqrt(3) / (3 * s2) =

                   = 2 sqrt(3) / 3 = ~1.15

Das heisst, bei gleichem Umfang hat das Sechseck etwa 15% mehr Fläche.