Fläche zu Umfang oder warum die Biene Waben baut

Beim Morgenessen stellte sich die Frage, warum die Bienenwaben sechseckig sind. Auf meine Antwort, dass das Sechseck die Form mit dem besten Fläche-zu-Umfang-Verhältnis ist, die ohne Zwischenräume aneinander gereiht werden kann, wurde mit Skepsis reagiert.

Also musste dies mathematisch bewiesen werden:

AQuadrat = s2

UQuadrat = 4s
ASechseck = 3a2 sqrt(3) / 2

USechseck = 6a

Bei gleichem Umfang von Quadrat und Sechseck ergibt sich:

UQuadrat = USechseck = 4s = 6a

a = 4s / 6

a = 2s / 3

ASechseck = 3 (2s / 3)2 sqrt(3) / 2 =
         = 3 * 4 s2 sqrt(3) / (9 * 2) = 2 s2 sqrt(3) / 3

Wenn wir nun die beiden Flächen vergleichen ergibt sich:

ASechseck / AQuadrat = 2 s2 sqrt(3) / (3 * s2) =
                   = 2 sqrt(3) / 3 = ~1.15

Das heisst, bei gleichem Umfang hat das Sechseck etwa 15% mehr Fläche.

2 Gedanken zu „Fläche zu Umfang oder warum die Biene Waben baut

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